Олимпиада по математике Foxford 7 класс, Сезон I: Задачи и решения

Всем привет!

Закончился 1-сезон олимпиады Фоксфорд. Я принимал участие в олимпиаде по математике (7 класс), результаты уже опубликованы и поэтому могу смело опубликовать свои задачи и решения (7 класс). Я так понимаю, что у всех были разные задачи, но сути это не меняет.

UPD: все ответы и решения оказались верными!

Итак, поехали:

Задача 1. Два грузовика

Два грузовика едут по шоссе со скоростью 90 км/ч, расстояние между ними — 240 метров. Когда грузовик сворачивает на проселочную дорогу, его скорость снижается до 30 км/ч. Сколько метров будет между грузовиками на проселочной дороге?

Ответ: 80

Задача 2. Делимое-делитель-частное

Делимое в восемь раз больше делителя, а делитель в восемь раз больше частного. Чему равно делимое?

Ответ: 512

Задача 3. Последовательные числа

Имеется девять последовательных натуральных чисел. Сумма первых двух равна 101. Чему равна сумма последних двух?

Ответ: 115

Задача 4. Принтер

Лазерный принтер печатает одну страницу за 15 секунд. Сколько страниц можно напечатать на этом принтере за 8 минут?

Ответ: 32

Задача 5. Склад ручек

На складе магазина канцелярских товаров есть коробки с шариковыми ручками четырех цветов — синего, черного, красного и зеленого. Коробок с синими ручками 10 штук, с черными — 15, красными — 16 и с зелеными — 20. Сколько всего ручек на складе магазина, если все коробки одинакового размера, а синих ручек всего 240?

Ответ: 1464

Задача 6. Задание на лето

Учитель задал на лето задание Отличникову и Двоечникову, причем Двоечникову в девять раз больше задач, чем Отличникову. После каникул оказалось, что они решили поровну задач, и процент задач, решенных Двоечниковым, равен проценту задач, не решенных Отличниковым. Какой процент задач решил Отличников?

Ответ: 90

Задача 7. Глобус

На школьном глобусе проведены 36 меридианов и 35 параллелей. На сколько частей эти линии разбивают поверхность глобуса? (Напомним, что меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным, а параллель — это окружность, “параллельная” экватору или совпадающая с ним.)

Ответ: 1296

Задача 8. Цветочный город

В Цветочном городе у коротышек есть карточки для обучения счету: на некоторых написано «1», на остальных — «2». Каждый из коротышек взял себе три карточки и стал составлять из них числа. Оказалось, что число «11» могут составить из своих карточек 9 коротышек, число «12» — 12 коротышек, число “21” — 12 коротышек, а число «22» — 14 коротышек. У скольких коротышек все три карточки оказались одинаковыми?

Ответ: 11

Задача 9. Пять полос

На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа
13; 28; 65,5; 125,5 и 225,5 в некотором порядке. Найдите N.

Ответ: 300

Задача 10. Яблоки и груши

Мама сварила компот из яблок и груш. Яблоки составляют 40% всех фруктов. Малыш Федя выловил из банки несколько яблок и съел их. И теперь оставшиеся яблоки составляют лишь 20% всех фруктов в банке. Сколько процентов всех яблок съел Федя?

Ответ: 62,5%

Задача 11. Координатная плоскость

На листе бумаги нарисована прямоугольная система координат. Лист согнули так, что точки с координатами (4; 3) и (1; 6) совпали. Найдите абсциссу точки, с которой совпала точка (2015; 2015)?

Ответ: 2013

Задача 12. НОК и НОД

Какое наибольшее значение может принимать отношение наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю двух натуральных чисел, если сами числа относятся как 51:57?

Ответ: 323

Задача 13. Последний герой

В 1000-значном числе 24680246802468024680...2468024680, вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах; в полученном 500-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах, и т.д. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычеркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

Ответ: 4

Задача 14. Четыре станции

На круговой железной дороге расположены четыре станции: A, B, C, D. Расстояние между станциями A и B равно 15 км, между станциями B и C равно 10 км, между C и D — 30 км, между D и A — 30 км. Известно также, что длина всей кольцевой дороги менее 75 км. Чему равна эта длина?

Ответ: 65

Задача 15. Хоровод

В детском саду 16 мальчиков и 24 девочки водят хоровод. Оказалось, что есть ровно 12 пар мальчиков, держащихся за руки. Какое наибольшее число пар девочек, держащихся за руки, может быть в хороводе?

Ответ: 20

Задача 16. Путевка в Турцию

В турфирме прошла акция: «Купи путевку в Турцию, приведи пять друзей, которые тоже купят путевки в Турцию, и получи деньги за свою путевку обратно». За время действия акции 60 клиентов пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по пять друзей, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Турцию бесплатно?

Ответ: 10

Задача 17. Олимпиада

Преподавателям математики “Фоксфорда” нужно составить олимпиаду для всех классов с 5 по 11, по 20 задач в каждой параллели. Какое наименьшее количество задач им нужно придумать, если одну и ту же задачу нельзя использовать более, чем в четырех классах, и для каждого класса должно быть хотя бы 10 задач, которые не встречаются в других классах?

Ответ: 88

Задача 18. Квадраты

Для скольких натуральных чисел n от 1000 до 2000 число n в степени n является квадратом некоторого натурального числа?

Ответ: 507

Задача 19. Сеть дорог

В некоторой стране 200 городов, из которых 10 — областные центры. Некоторые города соединены между собой дорогами (но не более чем одной для каждой пары городов), причем любой путь по дорогам между двумя обычными городами, если он есть, проходит хотя бы через один областной центр. Какое наибольшее количество дорог могло быть в этой стране?

Ответ: 1945

Задача 20. Удивительные числа

Назовем натуральное число большее единицы удивительным, если оно равно произведению всех своих натуральных делителей, кроме самого числа. Например, первое удивительное число — это 6. Найдите 17-ое удивительное число.

Ответ: 55