Задача: найти треугольник с меньшим периметром

Наткнулась на эту задачу совершенно случайно. У меня знакомая через год после окончания магистратуры снова решила учиться и начала готовиться к поступлению. А значит что-то нужно просто повторить и вспомнить, ну и разобраться с чем-то новым. Вот сидела она над какой-то задачей, я проходила мимо. Задача показалась весьма простой (школьного уровня), но надо немного подумать.

Итак, рассматриваемая здесь задача звучит так: даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезки, имеющие концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр.

Математика: Задача: найти треугольник с меньшим периметром
Задачка является частью доказательства задачи Фаньяно.

Сама задача Фаньяно звучит следующим образом:
Здесь был опубликован спойлер, чтобы его прочитать вам нужно просмотреть полную версию текста.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Рассматриваются всевозможные треугольники DEF, вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC.

Ортоцентрический треугольник
Здесь был опубликован спойлер, чтобы его прочитать вам нужно просмотреть полную версию текста.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника.


Первые мысли, которые приходят в голову, это, наверное, построить перпендикуляры (как кратчайшее расстояние до сторон). Отображаем точку D симметрично относительно AC и AB (получаем точки D1 и D2).

Математика: Задача: найти треугольник с меньшим периметром

У некоторых сразу же может возникнуть искушение соединить точки пересечения перпендикуляров и сторон угла BAC. После чего появляется ложное впечатления «я сделяль», и кажется, что KDL — это тот самый треугольник.

Математика: Задача: найти треугольник с меньшим периметром

Всё не так. Тот факт, что две стороны треугольника — кратчайшие (перпендикуляры до прямой), еще не делает периметр треугольника минимальным.

На самом деле поиск треугольника с наименьшим периметром использует утверждение: кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая. Дополнительные построения должны привести к тому, чтобы все длины сторон искомого треугольника оказались на прямой. Соединяем точки D1 и D2. Точки пересечения прямой D1D2 со сторонами угла и есть оставшиеся искомые вершины треугольника.

Математика: Задача: найти треугольник с меньшим периметром

FK и EL являются медианами и высотами(точка D симметрично отображена относительно сторон угла) треугольников D2DF и DD1E соответственно, значит треугольники D2DF и DD1E — равнобедренные. Видно, что периметр треугольника DEF равен длине отрезка D1D2. Треугольник с меньшим периметром найден.

Возьмем какие-нибудь другие точки(F и E) на сторонах угла.

Математика: Задача: найти треугольник с меньшим периметром

Периметр этого треугольника DEF оказывается больше, чем длина отрезка D1D2.

Вот и все. Удачи всем поступающим!

Источник: Habrahabr

Комментариев нет

Оставить комментарий

Комментарий будет сохранен и опубликован после авторизации